みんなの算数

数学的問題解決力、思考力は、たとえ社会から離れたひきこもり生活をしていても、なかなかに僕たちを助けてくれるものです。ましてや社会へと復帰した後なら、適切な問題認識、その解決法の発想、あるいは専門分野に必要な知識。どれをとっても僕たちの利益となり、ひいてはより良い人生を送りやすくなることでしょう。

算数の話題・問題とその解決を通じて、大人の思考力を鍛えていきましょう!

中等教育以上の数学についても投稿自由ですが、より多くの人が楽しめるように、投稿した人は他の人からの質問にしっかりと答えるようにしましょう。

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①わからないことはどんどん質問だ!
考える力は、表面的な理解からは生じてきません。簡単に見える事柄でも、深く深く掘り下げていくことで思いもよらぬ発見があるかもしれません。僕やあなたの「わからない」は新しい知識の始まりとなるでしょう。

②間違いを尊べ!
既に出来ることが完璧に出来たからといって、それは自分の成長には繋がりません。しかし、間違えた部分を克服することが出来れば、それは間違いなく成長なのです。成長は尊いもの。ならば間違いも尊いのです。

③分析するのだ!
数学は簡単ではありません。数学の力、それは人類が気の遠くなるほど長い進化の果てに獲得した、高度な抽象的思考能力です。きわめて単純な数式でも、そこに含まれるアイデアは膨大な量になるでしょう。どこまでも分析し続けることを躊躇してはいけません。

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とりあえず建てました。
どんな頻度でここが動くのかも決まってないし、なにを話すかも決めていません。

見切り発車です
わ~い:innocent::railway_car:

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とりあえず1問だけ置いときます。
解答はこれから作ります:innocent:

ある軍曹が、兵士を1つのベンチにつき8人ずつ座らせると、最後のベンチには3人の兵士が座ることになった。これを9人ずつベンチに座るように命じると、最後のベンチには4人の兵士が座ることになったという。軍曹の指揮下には何人の兵士が居るだろう、可能な限り少ない人数で答えよ。

追記
すでに解答は完成しているものの、どんなタイミングで投稿するべきか悩む。
すぐにパッと答えを出してしまうと、せっかく考えてくれてる人にとって良くないし。(そういう優しい人がいてくれればだけれど:innocent:
せっかくだから、みんなも解いてみてね!(●´ω`●)

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解答
Screenshot 2025-01-10 205034

Screenshot 2025-01-10 205058

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僕のアナログな解答なので間違ってたらごめん
(m´・ω・`)m ゴメン…

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初等教育の内容で解くには、たぶん解1が唯一の方法になるような気がする。(もし別解を思いついた人がいたら教えてください:four_leaf_clover:)

①文章の内容を、割り算の商と余りに結び付けることが出来る。

②得られた二つの条件を同時に満たす数が答えであると理解できる。つまり、複数条件の処理を理解できる。

③実際に数を書きだす実行力。倍数についての知識。

この三つの理解が肝になってる問題に見える。小学校の高学年くらいの算数力がバッチリ身についていれば解けるようにできているみたい。

さて、過疎らぬように祈禱でもするか♰(‘◇’)ゞ:prayer_beads:

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また問題を出してみる

商人あり、字は伯義。西方から200斤の西瓜を仕入れ、喜び勇んで、さる身分の高い人の屋敷に売りに行った。目方の9割9分(99%)が水分だと目利きされた、なんとも瑞々しい良品であった。
日が落ちる頃、西瓜の詰まった車を牽かせながら、伯義はうなだれていた。さる人は話も聞かずに伯義を追い返してしまった。ただの一つも西瓜は売れなかったのだ。ふと見れば、今日の暑さのせいだろう、西瓜の瑞々しさはなくなって、これではせいぜい9割8分(98%)までが水分であろうと伯義は見て取った。
さて、この状態の西瓜は、全部合わせて何斤の目方で売れるだろう。伯義の目利きが正確であると仮定して答えよ。

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ひとり遊びになっちまっている:innocent::railway_car:

解答



Screenshot 2025-01-11 124332

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算数で解くにはたぶん解2が必要かな。
移項さえしなければOKなのであれば、解1も有効かも。

誰かほかの解を編み出してくれ~(‘ω’):prayer_beads:

以下は、ゆらぎねこGPTが昨日から通算8時間ぐらいかけて導き出した回答と、回答にいたるまでの思考過程です。(算数トピックなのですが、脳みそが硬くなってますので、算数の知識に限定していないことをご了承くださいませ)

まず、8人かけベンチをA、9人かけベンチをBとします。

まず、これは連立方程式で解けないだろうか?と考え、Aの数をX、Bの数をYとして、試行錯誤したのですが、どうみても無理そうだったので、あきらめようとしたのですが、おぼろげながら、

8x-9y=1 (この式をCとします)

最後のベンチを含まない、残りのベンチの数をそれぞれXとYにすることで、残りのベンチに座っているそれぞれの合計人数を差し引きした数がかならず1になるという式Cが、浮かんできました。

これはなぜそうなるのか?というと、たとえば、合計人数を30人とした場合、例題により、Aの残りのベンチには27人が、(最後のベンチに3人座っているので、残りは27人)Bの残りのベンチには26人(最後のベンチに4人座っているので、残りは26人)が座っていることになります。

つまり、式Cの-9yを右側に移行させて、8x=9y+1とすることにより、9の倍数に1を足した数字の最小の8の倍数を求めることで、兵士の数を求めることが可能になるのではないでしょうか?

では実際に計算してみましょう。8x8=64 9x7=63+1=64ということで、答えは64人(8人がけの残りのベンチの合計人数)+3人(8人がけの最後のベンチの人数)=67人となります。

以上の答えから、それぞれのベンチに座れる最大人数の最小公倍数を求めて、数の少ない方の数を(この場合は8)最小公倍数から引くことでショートカット的に答えを導けるような気がしますが、偶然かもしれません。(最小公倍数8x9=72,72-8=64,64+3=67)

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その過程は思いつきませんでした、すごいです。

この前提条件での立式は見事ですね。
結果として僕の解2の途中式に行きつきはしますが、yuraginekoさんのその後の展開がより代数的できれいです。

完全に座れたベンチの数のみを考えることで、よりストレートに解にたどり着けますね。ああ、なんで考え付かなかったんだろう:innocent:

これで解が四つになりました。ありがとうございます!(●´ω`●):prayer_beads:

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Timothy Gowersのインタビュー記事に、面白い回答があったので貼りたい。
学生へ向けてのアドバイスを問われて、

Keep active the whole time. For example, if you are trying to think about a hard problem and you are feeling stuck, ask lots of questions and try to analyze why you are stuck. Think even whether you should switch to a different problem, but not too fast because if you keep doing that you will never do anything. One of the most important things is to keep asking more and more questions and eventually you will find some that you can answer and are interesting, or will help you answer other questions. Some of my best results have been a result of trying to solve unsuccessfully one problem but developing ideas that enabled me to solve others. Another piece of advice is to keep mathematically curious to the extent that you would be interested in proving things even if you know they are known results. Don’t be too hasty to look at the literature to find out whether something is known because if you manage to prove it by yourself you will really understand it. So keep on thinking and if you keep on thinking and having ideas and generating and learning for yourself, eventually the results will start coming.

GPT翻訳
常に積極的であり続けなさい。例えば、難しい問題について考えようとして行き詰まっていると感じたら、たくさんの質問をして、自分がなぜ行き詰まっているのかを分析してみなさい。別の問題に切り替えるべきかどうかさえ考えるべきだが、あまり急ぎすぎないようにしなさい。なぜなら、常に問題を切り替えてばかりだと、何も成し遂げられなくなるからだ。最も重要なことの一つは、どんどん質問をし続けることだ。そして最終的には、自分が答えられる面白い質問や、他の質問を解く助けになる質問を見つけるだろう。私の成果の中には、ある問題を解こうとして失敗したが、その過程で得られたアイデアによって他の問題を解決することができた例がいくつもある。
もう一つのアドバイスは、数学的な好奇心を持ち続けることだ。たとえそれが既知の結果であると分かっていても、それを証明しようと興味を持つことが重要だ。何かが既知であるかどうかを文献で急いで確認しすぎないようにしなさい。なぜなら、自分で証明できた場合、そのことを本当に理解できるからだ。だから、考え続けなさい。考え続け、アイデアを出し、自分で学び、前進し続けることで、最終的には成果が現れ始めるだろう。

追記
コピペで生じた余分なスペースを削除

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やっぱりところどころニュアンスが違う。
でもまあ翻訳はめんどくさいからGPTくんありがとう。

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過疎る前に問題を出さねば:innocent:

学問の師を探し求めて、あなたはついにアテナイへとたどり着いた。方々を訊ねて回って数日後、あなたを弟子に迎えても良いという哲学者をやっと見つけた。彼は言った、
「学問を修める間、お前が住む部屋も、腹を満たすパンも、寒さをしのぐ外套も、すべてこちらで用意してやろう。ただし、わたしの出す問題が解けたらの話だがね。これは私の師の言葉だが、万物は数なのだ、君も知っているだろう。数を知らない者を弟子にとるわけにはいかんのだよ」
彼が出した問題はこういうものだった、
『いまお前に5と7の二つの数字を与えよう、おまえはそれぞれ何個でもこの二つの数字を用意できるとしようじゃないか。ただし、ほかの数は使ってはいけない。そうして、足し算だけをお前に許そう。さて、この状態で、お前が用意できない数の中で最も大きいものはなんだね、答えてみなさい』

追記
この哲学者が言う数は自然数のこととします。

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おまえとお前が混在してる:innocent:
ゆるしてくれ、変換ミスなのだ(。´・ω・)

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なにげなく出したけど、初等的には完全な証明は無理だなあ。:innocent:
値だけ出せたらOKということで(੭ु´・ω・`)੭ु⁾⁾

解答は明日貼ります。

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この本やっぱりすき。

原著もいいぞ。
ほんとに円安だねえしかし。これなら訳書のほうが安いじゃんか。

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十五年ほど前に買った時も定価1500円だった気がする。
ありがてえな。:innocent:

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解答

5+5は10である。すなわち、ここに任意の数が与えられたとき、下1桁が共通な、その数よりも大きな数は、許された方法ですべて用意できる。

ここで、すべての自然数を下1桁の値によって分類し、そのそれぞれについて、許された方法で用意できない最大の数を求めていく。

①―下1桁が0である自然数。
哲学者が0を認める立場にせよ、そうでないにせよ、最小となり得る自然数0および10は上述したように用意できる。したがって、①の中で用意できない数はない。
あるいは、0を用意するには0という数字を用いる必要があると哲学者がゴネる場合、用意できない最大の数は0である。

②―下1桁が1である自然数。
7+7+7=21である。したがって、用意できない数の最大値は11。

③―下1桁が2である自然数。
5+7=12である。したがって、用意できない数の最大値は2。

④―下1桁が3である自然数。
5+7+7+7+7=33である。したがって、用意できない数の最大値は23。

⑤―下1桁が4である自然数。
7+7=14である。したがって、用意できない数の最大値は4。

⑥―下1桁が5である自然数。
その最小の数5は、もちろん用意できる。用意できない数は存在しない。

⑦―下1桁が6である自然数。
5+7+7+7=26である。したがって、用意できない数の最大値は16。

⑧―下1桁が7である自然数。
上述の⑥と同様の論理で、用意できない数は存在しない。

⑨―下1桁が8である自然数。
7+7+7+7=28である。したがって、用意できない数の最大値は18。

⑩―下1桁が9である自然数。
5+7+7=19である。したがって、用意できない数の最大値は9。

以上すべての場合について述べた。
これを総合すれば、求める数は23であることがわかる。

詳細な解答

5+5は10である。すなわち、ここに任意の数が与えられたとき、下1桁が共通な、その数よりも大きな数は、許された方法ですべて用意できる。
これは任意の十進数を次のように表すことで導くことができる、

任意の十進数=A①(10^n) + A②{10^(n-1)} + A③{10^(n-2)} + ・・・・・・ + Aⓝ(10^0)

ここで、Aⓝを除いたすべての項は10^1=10の倍数であるから、必要なだけの10を加えることで、この十進数より大きく、かつAⓝが共通な数は、すべて得られることになる。

いま、任意の数の5,任意の数の7、これらの和Sがとり得る値について、加法に用いるAddend(加数)の数mによって、

7m≧S≧5m が成り立つ。

ここで、すべての自然数を下1桁の値によって分類し、そのそれぞれについて、許された方法で用意できない最大の数を求めていく。

①―下1桁が0である自然数。
加数0のとき、S=0、また、加数2のとき、S=5+5=10が実現できる。
哲学者が0を認める立場にせよ、そうでないにせよ、最小となり得る自然数0および10は用意できる。したがって、①の中で用意できない数はない。
あるいは、0を用意するには0という数字を用いる必要があると哲学者がゴネる場合、用意できない最大の数は0である。

②―下1桁が1である自然数。
7+7+7=21である。
また、5×3>7×2>11>5×2>7×1であるから、加数2の場合についてSのとり得る場合を調べれば、11がSで表せるかどうか判別するのに十分である。

加数2
5+5=10
5+7=12
7+7=14
11はSで表せない。

さらに、5×1>1>7×0であるから、1をSで表すことは不可能である。
したがって、用意できない数の最大値は11。

③―下1桁が2である自然数。
5+7=12である。
さらに、5×1>2>7×0であるから、2をSで表すことは不可能である。
したがって、用意できない数の最大値は2。

④―下1桁が3である自然数。
5+7+7+7+7=33である。
また、7×4>5×5>23>7×3>5×4であるから、加数4の場合についてSがとり得る値を調べれば、23がSで表し得るかどうか調べるのに十分で、

加数4のとき
5+5+5+5=20
5+5+5+7=22
5+5+7+7=24
5+7+7+7=26
7+7+7+7=28
23はSで表せない。

また、5×3>7×2>13>5×2>7×1であるから、加数2の場合についてSがとり得る値を調べれば、13がSで表しうるかどうか調べるのに十分で、

加数2のとき
5+5=10
5+7=12
7+7=14
13はSで表せない。

さらに、5×1>3>7×0であるから、3はSで表せない。
したがって、用意できない数の最大値は23。

めんどい、以下省略!!!

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昨日は思いつかなかったけれど、今思いついた補足。

詳細な解答、和Sの範囲を提示した後に、次の文章を挿入して解の簡略化が可能だと思う。

ところで、加数がaのとき

S=(5または7)+(5または7)+(5または7)+・・・・・・
と表せるが、ここで5、7を2で割った余りが相等しく1であることから、SのParity(偶奇)は、そのどの項が5,7の値をとろうと、

P = 1+1+1+・・・・・・・+1 (Pは1のみを用いた加数aの和)
= a
と等しい。すなわち、加数aのときSは5a以上7a以下の数で、その偶奇がaと一致する値のみをとる。

――

合同式を用いれば話はもっと楽で、

5 ≡ 7 ≡ 1 (mod2)
S ≡ 1 × a (mod2)
加数aのときSがとり得る値はすべて偶奇がaと同じである。

なんで昨日は思いつかなかったんだろう:innocent:

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